Йозеф Моог родился в 1987 году в Людвигсхафенe, его родители – профессиональные музыканты. В возрасте четырех лет начал играть на фортепиано, а в десять лет был принят в Высшую школу музыки в Карлсруэ. Продолжил обучение у Бернда Глемзера в Вюрцбурге и у Ари Варди в Ганновере. Первое выступление Йозефа Моога в лондонском Вигмор-холле в 2014 году способствовало укреплению отношений с этим знаменитым концертным залом: до 2021 года молодой пианист даст там ряд сольных концертов. Во время своего американского дебюта в 2011 году Йозеф Моог покорил публику: за первым успехом последовали многочисленные ангажементы в США. В Европе выступал на таких престижных концертных площадках, как Старая опера во Франкфурте-на-Майне, Берлинский Концертхаус, «Аудиториум делла Кончилиационе» в Риме, Королевский Альберт-холл в Лондоне, а также на международных фестивалях, в том числе в Ла-Рок-д’Антероне и в Рурской области. Молодому музыканту посчастливилось работать с известными дирижёрами, среди них – Хуанхо Мена, Кристоф Поппен, Ари Расилайнен, Маркус Пошнер, Михаэль Зандерлинг. Йозефа Моога регулярно приглашают в качестве гостя на международные фестивали – в Ла-Рок-д’Антерон, Хусум, Рурскую область. Несмотря на молодость, у пианиста уже очень богатая дискография с разнообразным репертуаром, за которую он получил восторженные отзывы в международной прессе, а также многочисленные премии и награды. Его восьмой альбом, в котором мастерски объединены «Большая соната» Чайковского и Соната для фортепиано № 2 Франца Ксавьера Шарвенки, вышла в 2014 году. Вместе с Филармоническим оркестром Немецкого радио под управлением Николасa Милтонa записал фортепианные концерты Грига и Мошковского на лейбле Onyx Classics: этот диск был издан в июне 2015 года.
В 2015 году Йозеф Моог получил престижную Gramophone Award в номинации «Молодой артист года», до этого дважды был отмечен Международной премией ICMA в области классической музыки. В 2012 году награждён премией как лучший молодой артист года, в 2014 году последовала премия в номинации «Лучший сольный исполнитель года». Другие награды, такие как музыкальная премия, присуждаемая Немецким концертным агентством, четыре премии SuperSonic, поощрительная премия Музыкального фестиваля в Шлезвиг-Гольштейне, премия «Выбор пианиста» и премия Группы Ротшильдов, свидетельствуют о признании высокого профессионального мастерства молодого пианиста.
